Algebrallisista luvuista ja vektoriavaruuksista

Tässä postauksessa esitetään yksi todistus sille, miksi kahden algebrallisen luvun summa/tulo on myös algebrallinen. Tämän todistamiseksi määritellään vektoriavaruus ja kanta.

Määritelmä

Lukua $\alpha$ sanotaan algebralliseksi, jos se on jonkin kokonaislukukertoimisen (ei-vakion) polynomin nollakohta. Ekvivalentti määritelmä on, että $\alpha$ on jonkin rationaalikertoimisen polynomin nollakohta.

Todistus perustuu vektoriavaruuksiin ja niiden kantoihin. Tekstin rakenne on seuraava:

  1. Kunnan määritelmä
  2. Esimerkki vektoriavaruudesta
  3. Vektoriavaruuden määritelmä
  4. Esimerkki vektoriavaruudesta
  5. Esimerkki kannasta
  6. Kannan määritelmä
  7. Esimerkki kannasta
  8. Väitteen todistus
  9. Harjoitustehtäviä

Ne, jotka tietävät ennestään vektoriavaruuksien ja kantojen perusteet, voivat edetä suoraan väitteen todistukseen. Muussa tapauksessa kannattaa keskittyä koko postaukseen, sillä vektoriavaruudet ja kunnat ovat kohtalaisen yleisiä käsitteitä.

Määritelmä (kunta)

Olkoon $K$ joukko, ja $\cdot$ sekä $+$ operaatioita. Sanotaan, että $(K, \cdot, +)$ on kunta (tai $K$ on kunta, jos operaatioiden määrittelyt ovat selviä kontekstista), jos seuraavat ehdot pätevät:

  1. Kaikilla $a, b \in K$ pätee $a + b = b + a$ ja $a\cdot b = b \cdot a$.
  2. On olemassa sellainen $0 \in K$, jolla $a + 0 = a$ kaikilla $a \in K$. Vastaavasti, on olemassa sellainen $1 \in K$, jolla $1 \cdot a = a$ kaikilla $a \in K$.
  3. Kaikilla $a, b, c \in K$ pätee $a + (b + c) = (a + b) + c$ ja $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
  4. Kaikilla $a \in K$ on olemassa sellainen $b \in K$, jolla $a + b = 0$. Vastaavasti, kaikilla $a \in K, a \neq 0$ on olemassa sellainen $b \in K$, jolla $a \cdot b = 1$.
  5. Kaikilla $a, b, c \in K$ pätee $a(b+c) = ab + ac$.

Esimerkiksi rationaalilukujen joukko on kunta, kun $\cdot$ ja $+$ määritellään tavallisesti. Samoin reaali- ja kompleksiluvut ovat kunta. Huomaa, että kokonaisluvut eivät ole kunta, koska ehto 4 ei päde kertolaskulle: esimerkiksi luvulla $2$ ei ole olemassa sellaista kokonaislukua $b$, jolla $2b = 1$.

Huomautus

Tässä postauksessa kaikkein tärkein esimerkki kunnista on rationaalilukujen kunta $\mathbb{Q}$, ja kannattaa monessa tilanteessa ajatellan kunnan $K$ sijasta helppoa esimerkkiä $\mathbb{Q}$. Ehdot ovat lisäksi loppujen lopuksi hyvin intuitiivisia, eli ei kannata liikaa ajatella, että ne pitäisi “opetella ulkoa”. Jos mietit kysymystä “kuuluuko ehto x kunnan määritelmiin”, intuitiivisin vastaus on todennäköisesti oikein.

Huomautus

Ehdoille on annettu omat “nimensä”. Ehtoa 1 kutsutaan kommutatiivisuudeksi, ehtoo 2 on neutraalialkion olemassaolo, 3 on assosiatiivisuus, 4 on käänteisalkion olemassaolo, 5 on osittelulaki.

Huomautus

On olemassa muitakin mielenkiintoisia algebrallisia rakenteita kuin kunnat. Esimerkiksi unohtamalla ehdon 4 operaatiolle $\cdot$ (mutta säilyttämällä sen opreaatiolle $+$) saadaan ns. renkaat. Kokonaisluvut ovat rengas. Joissain lähteissä jätetään pois ehto 1 operaatiolle $\cdot$, mikä myös yleistää kunnan määritelmää (esimerkiksi kääntyvät matriisit ovat tällä laajennetulla määritelmällä kunta). Tässä postauksessa emme kuitenkaan tee näin.

Huomautus

Jos $K$ on reaalilukujen osajoukko, tässä postauksessa $\cdot$ ja $+$ määritellään kuten tavallinen kertolasku ja yhteenlasku.

Ennen kuin määritellään vektoriavaruus, otetaan esimerkki vektoriavaruudesta.

Esimerkki (vektoriavaruus)

Olkoon $\mathbb{R}$ reaalilukujen joukko, ja olkoon $V$ kaksiulotteisen tason vektorien joukko. $V$:n alkioita voidaan kertoa mielivaltaisilla reaaliluvuilla, vektoreita voidaan laskea yhteen, ja $(a + b)v = av + bv$ kaikilla $a, b \in \mathbb{R}, v \in V$. $V$:n alkioita ei kuitenkaan suoraan voi kertoa keskenään (paitsi ehkäpä pistetulolla, mutta ei välitetä tästä). Sanomme, että $V$ on $R$-vektoriavaruus.

Määritelmä (vektoriavaruus)

Olkoon $(K, \cdot, +)$ kunta (esimerkiksi rationaaliluvut). Olkoon $V$ jokin joukko, jolla on operaatio $\bigoplus$. Lisäksi olkoon $\bigodot$ operaatio, joka kuvaa jokaiselle parille $(a, v)$ vektorin $w$, missä $a \in K, v, w \in V$. Sanotaan, että $V$ (eli $(V, \bigoplus)$) on $K$-vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot pätevät:

  1. $(V, \bigoplus)$ toteuttaa kunnan määritelmistä 1-4 ne, jotka koskevat operaatiota $+$.

  2. $(a + b) \bigodot v = (a \bigodot v) \bigoplus (b \bigodot v)$, kaikilla $a, b \in K, v \in v$.

  3. $a \bigodot (b \bigodot v) = (a \cdot b) \bigodot v$, kaikilla $a, b \in K, v \in v$.

  4. $1 \bigodot v = v$ kaikilla $v \in V$, missä $1$ on $K$:n kertolaskun neutraalialkio,

  5. $a \bigodot (v \bigoplus w) = (a \bigodot v) \bigoplus (a \bigodot w$).

Huomautus

Usein operaatiot $\bigoplus$ ja $\bigodot$ ovat hyvin samanlaisia kuin operaatiot $+$ ja $\cdot$. Nyrkkisääntö: jos $\bigoplus$ tai $\bigodot$ valitaan jollain muulla kuin kaikkein selkeimmällä tavalla, se mainitaan erikseen.

Jälleen, määritelmät ovat intuitiivisia, vaikkeikaan ehkä niin luonnollisia kuin kunnan tapauksessa. Otetaan vielä toinen esimerkki.

Esimerkki (vektoriavaruus)

Olkoon $\mathbb{Q}$ rationaalilukujen joukko, ja olkoon $V$ funktioiden $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ joukko. Voimme määritellä $f \bigoplus g$ luonnollisesti funktioksi $h$, jolla $h(a) = f(a) + g(a)$ kaikilla $a \in \mathbb{Q}$. Vastaavasti määritellään kertolasku rationaaliluvulla: $V$:n alkio $a \bigodot f$ on se funktio $h$, jolla $h(b) = a \cdot f(b)$ kaikilla $b \in \mathbb{Q}$.

On helppoa todistaa, että $V$ on $\mathbb{Q}$-avaruus käymällä jokaisen tarvittavan ehdon läpi (tämän pitäisi myös olla melko intuitiivista). Huomaa, että jälleen ei ole määritelty, millainen olisi “kertolasku” $V$:n alkioiden välillä, eikä tarvitsekaan.

Kuten edellä, käydään ensin läpi esimerkki vektoriavaruuden kannasta ennen määritelmää.

Esimerkki (kanta)

Olkoon $V$ joukko, joka sisältää luvut muotoa $a + b\sqrt{2}$, missä $a, b \in \mathbb{Q}$. Määritellään yhteenlasku $V$:n alkioiden välillä samalla tavalla kuin yhteenlasku reaaliluvuille. Tällöin $V$ on $\mathbb{Q}$-vektoriavaruus, kun määrittelemme vektoriavaruuden määritelmässä esiintyvän operaation $\bigodot$ kuten kertolaskun reaaliluvuilla (ei kovin yllättäen).

$\lbrace 1, \sqrt{2} \rbrace $ on kanta vektoriavaruudelle $V$, koska jokainen $V$:n alkio voidaan kirjoittaa muodossa $a \cdot 1 + b \cdot \sqrt{2}$, missä $a$ ja $b$ ovat kunnan $\mathbb{Q}$ alkioita. Tämä ei ole ainoa kanta, esimerkiksi $\lbrace 3, 1 + 2\sqrt{2} \rbrace $ on myös kanta, koska jokainen $V$:n alkio voidaan kirjoittaa muodossa $a \cdot 3 + b \cdot (1 + 2\sqrt{2})$, missä $a, b \in \mathbb{Q}$.

Määritelmä (kanta)

Olkoon $V$ $K$-vektoriavaruus. Sanotaan, että $V$:n alkiot $\lbrace v_1, v_2, \ldots , v_n \rbrace $ ovat vektoriavaruuden $V$ kanta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

  1. Jokaisella $w \in V$ on olemassa $a_1, a_2 \ldots , a_n \in K$, joilla $w = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n$.

  2. Jos joukosta ${v_1, v_2, \ldots , v_n }$ poistaa minkä tahansa alkion, ei ehto 1 enää päde. Tämä on ekvivalenttia (miksi?) sen kanssa, että mitään $v_i$ ei voida esittää muodossa $a_1v_1 + a_2v_2 + \ldots + a_{i-1}v_{i-1} + a_{i+1}v_{i+1} + \ldots + a_nv_n$, missä $a_i \in K$.

Huomautus

Ehto 2 käytännössä tarkoittaa sitä, että kanta ei sisällä “turhia” alkioita.

Huomautus

Näillekin ehdoille on omat nimensä. Ehtoon 1 viitataan sanomalla, että vektorit $v_1, \ldots , v_n$ virittävät vektoriavaruuden $V$. Lisäksi sanotaan, että $w$ voidaan esittää vektorien $v_1, \ldots , v_n$ lineaarikombinaationa. Ehto 2 esitetään usein sanomalla, että vektorit $v_i$ ovat lineaarisesti riippumattomia. Tällä tarkoitetaan, että mikäli $a_1v_1 + a_2v_2 + \ldots + a_nv_n = 0$, niin $a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0$.

Esimerkki (kanta)

Olkoon $S$ niiden enintään toisen asteen polynomien joukko (mukaanlukien vakiopolynomit), joiden kertoimet ovat rationaalilukuja. Tällöin $S$ on $\mathbb{Q}$-vektoriavaruus, ja sillä on kanta $\lbrace 1, x, x^2 \rbrace$. On helppoa nähdä, että molemmat ehdot toteutuvat. Jälleen, kanta ei ole uniikki, sillä esimerkiksi $\lbrace x^2 - 1, x^2, x \rbrace$ on myös kanta.

Todistus (kahden algebrallisen luvun summa on algebrallinen)

Olkoot $\alpha$ ja $\beta$ joidenkin kahden polynomin $P, Q$ nollakohtia, missä $P$ ja $Q$ ovat kokonaislukukertoimisia. Olkoon $n = \deg(P)$ ja $m = \deg(Q)$. Olkoon $V$ se $\mathbb{Q}$-vektoriavaruus, joka sisältää kaikki luvut muotoa $q_0 + q_1\alpha + q_2\alpha^2 + \ldots q_k\alpha^k$, missä $q_i \in \mathbb{Q}$ ja $k$ on kokonaisluku.. On selvää, että $\lbrace 1, \alpha, \alpha^2, \ldots \rbrace $ virittää $V$:n, mutta tämä ei ole kanta: luku $\alpha^n$ voidaan esittää lukujen $1, \alpha, \ldots , \alpha^{n-1}$ avulla. Esimerkiksi jos $P(x) = x^3 - x - 1$, niin $\alpha^3 - \alpha - 1 = 0$, eli $\alpha^3 = \alpha + 1$, ja näin $\alpha^3$ voidaan esittää pienempien luvun $\alpha$ potenssien avulla.

Vastaavasti millä tahansa $k \ge n$ luku $\alpha^k$ voidaan esittää lukujen $1, \alpha, \ldots , \alpha^{n-1}$ lineaarikombinaationa. Tämän vuoksi $\lbrace 1, \alpha, \alpha^2, \ldots \alpha^{n-1}\rbrace $ virittää vektoriavaruuden $V$. Tämäkään ei vielä välttämättä ole kanta, koska alkiot eivät välttämättä ole lineaarisesti riippumattomia, mutta ei välitetä siitä (jos $P$ on jaoton polynomi, niin kyseessä on kanta, ja muuten ei - todistus sivuutetaan). Määritellään $W$ vastaavasti luvulle $\beta$, jolloin $\lbrace 1, \beta, \ldots , \beta^{m-1} \rbrace $ virittää $W$:n.

Olkoon nyt $U$ niiden lukujen joukko, jotka voidaan esittää muotoa $q \alpha^i \beta^j$, missä $q \in \mathbb{Q}$, $i, j \in \mathbb{Z_{\ge 0}}$, olevien termien summana. Tämä $U$ voidaan virittää lukujoukolla $B$, joka sisältää luvut muotoa $\alpha^i \beta^j$, missä $i < n$ ja $j < m$. Miksi? On selvää, että jos unohdamme ehdon $i < n$, $j < $m, niin väite pätee. Jos $i \ge n$, voidaan luku $\alpha^i\beta^j$ kirjoittaa lukujen $\alpha^k\beta^j$ lineaarikombinaationa, missä $0 \le k < n$. Aiemmin esitettiin tämä redusointimenetelmä tapauksessa $P(x) = x^3 - x - 1$, nyt uutena asiana on kerroin $\beta^j$, joka ei kuitenkaan oleellisesti muuta tilannetta. Tämän takia luvut muotoa $\alpha^i\beta^j$, missä $i \ge n$ tai $j \ge m$, ovat “turhia”, sillä ne voidaan esittää pienemmän eksponentin omaavilla luvuilla.

Osoitetaan nyt, että $\alpha + \beta$ on algebrallinen. Olkoon $T$ se $\mathbb{Q}$-vektoriavaruus, joka sisältää luvut muotoa $q(\alpha + \beta)^i$, $q \in \mathbb{Q}, i \in \mathbb{Z_{\ge 0}}$, ja tätä muotoa olevien lukujen summat. $T$ on $U$:n osajoukko, joten $T$:n voi virittää äärellisellä määrällä (tarkemmin, $nm$ kappalella) alkioita. Tämä tarkoittaa, että $(\alpha + \beta)^{nm}$, voidaan esittää luvun $\alpha + \beta$ pienempien potenssien lineaarikombinaationa, eli $(\alpha + \beta)^{nm} = q_0 + q_1(\alpha + \beta)^1 + \ldots + q_{nm-1}(\alpha + \beta)^{nm - 1}$ jollain rationaaliluvuilla $q_i$. Tämä antaa suoraan polynomin, jonka nollakohtana on $\alpha + \beta$. Siis $\alpha + \beta$ on algebrallinen.

Huomautus

Jos todistuksen viimeisen kappaleen termit $\alpha + \beta$ korvaa termeillä $\alpha \beta$, on meillä valmis todistus sille, että $\alpha \beta$ on algebrallinen.

Esimerkki / toinen tapa ajatella asiaa

Olkoot $\alpha = \sqrt{2}$ ja $\beta = i$. Väite sanoo, että $\alpha + \beta$ on algebrallinen, eli jonkin polynomin nollakohta, ja todistus vielä osoittaa, että tällaisen polynomin aste voidaan valita olemaan $4$. Osoitetaan tämä tutkimalla luvun $\gamma \alpha + \beta$ potensseja:

Huomaa, että tässä käytettiin ehtoa $\alpha^2 = 2$, eli kuten todistuksessa todettiin, luvun $\alpha$ suuret potenssit voidaan esittää pienempien potenssien avulla. Samalla idealla voidaan sieventää vielä seuraavat potenssit:

Yritetään nyt löytää neljännen asteen polynomi, jonka nollakohta $\gamma$ on. Toisin sanoen,

jollain rationaaliluvuilla $q_i$. Tämän yhtälön vasemman puolen voi esittää lukujen $1, \alpha, \beta$ ja $\alpha\beta$ rationaalisten monikertojen summana käyttäen yllä laskettuja esityksiä luvuille $\gamma^i$. Yhtälö toteutuu ainakin silloin, jos lukujen $1, \alpha, \beta, \alpha\beta$ kertoimet ovat $0$. Tästä saadaan yhtälöryhmä luvuille $q_i$. Esimerkiksi luvun $\alpha$ kertoimeksi saadaan purkamalla esitykset $\gamma^i$

Siis valitaan $q_1 = q_3$.

Vastaavasti voidaan muiden kertoimien kautta muodostaa yhtälöitä. Tällä yhtälöryhmällä on tässä tapauksessa, ja yleisestikin, ratkaisu, jossa kaikki $q_i$ eivät ole nollia. Syynä sille, miksi aina löytyy ratkaisu, on se, että muuttujia on $nm$ (tässä $nm = 2 \cdot 2 = 4$) kappaletta, ja samoin yhtälöitä on $nm$. Yhtälöt eivät voi olla keskenään ristiriidassa, kuten yhtälöparissa $x+y = 0, 3x+3y = 2$, koska yhtälöryhmällä on aina ratkaisu $q_0 = q_1 = \ldots = 0$.

Tässä tapauksessa saadaan, että luku $\gamma = \alpha + \beta = \sqrt{2} + i$ on polynomin $x^4 - 2x^2 + 9$ nollakohta.

Harjoitustehtäviä

  1. Olkoon $\alpha \neq 0$ algebrallinen. Osoita, että $\frac{1}{\alpha}$ on algebrallinen. Tämä todistaa yhdessä yllä olevien väitteiden kanssa, että algebrallisten lukujen joukko on kunta.

  2. Sanotaan, että algebrallinen luku $\alpha$ on algebrallinen kokonaisluku, jos on olemassa sellainen kokonaislukukertoiminen polynomi $P$, jonka nollakohta $\alpha$ on, ja $P$:n korkeimman asteen termin kerroin on 1. Esimerkiksi $\sqrt{2}$ on algebrallinen kokonaisluku, koska se on polynomin $x^2 - 2$ nollakohta, mutta $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ei kuitenkaan ole algebrallinen kokonaisluku. Osoita, että kaikilla algebrallisilla luvuilla $\alpha$ on olemassa sellainen $n \in \mathbb{Z_{> 0}}$, jolla $n\alpha$ on algebrallinen kokonaisluku.