Henselin lemma

Tässä postauksessa käsitellään Henselin lemmaa: jos polynomilla $P \in \mathbb{Z}[x]$ on juuri modulo $p$, monessa tapauksessa sillä on juuri modulo $p^k$ kaikilla $k$.

Muuttujalla $p$ viitataan aina alkulukuun. Muistutetaan, että $P(a) \equiv P(b) \pmod{m}$ kaikilla $a \equiv b \pmod{m}$, $P \in \mathbb{Z}[x]$.

Henselin lemma

Olkoon $P \in \mathbb{Z}[x]$ annettu, ja olkoon $x \in \mathbb{Z}$ sellainen, jolla $P(x) \equiv 0 \pmod{p^k}$. Oletetaan, että $P’(x) \not\equiv 0 \pmod{p}$, missä $P’$ kuvaa $P$:n derivaattaa. Tällöin on olemassa sellainen $y \in \mathbb{Z}$, jolla $x \equiv y \pmod{p^k}$ ja $P(y) \equiv 0 \pmod{p^{k+1}}$.

Todistus

Osoitetaan ensin seuraava väite:

$$P(a + bp^k) \equiv P(a) + bp^kP'(a) \pmod{p^{k+1}}$$

Kirjoitetaan $P(x) = c_0 + c_1x + \ldots + c_dx^d$, missä $c_i$ ovat kokonaislukuja. Tällöin binomilauseen avulla saadaan yhtälö

$P(a + bp^k) = c_0 + c_1(a + bp^k) + c_2(a + bp^k)^2 + \ldots + c_d(a + bp^k)^d \equiv$ $c_0 + c_1(a + bp^k) + c_2(a^2 + 2abp^k) + \ldots + c_d(a^d + da^{d-1}bp^k)$ $\equiv c_0 + c_1a + c_2a^2 + \ldots + c_da^d + bp^k(c_1 + 2ac_2 + \ldots + c_dda^{d-1})$ $\equiv P(a) + bp^kP'(a) \pmod{p^{k+1}}$

Tutkitaan nyt lukuja muotoa $x + bp^k$. Kirjoitetaan $P(x) = sp^k$, missä $s \in \mathbb{Z}$. Väitteen nojalla $P(x + bp^k) \equiv p^k(s + bP’(x)) \pmod{p^{k+1}}$. Koska $P’(x) \not\equiv 0 \pmod{p}$, on olemassa sellainen $b$, jolla $s + bP’(x) \equiv 0 \pmod{p}$. Tällä $b$ valitaan $y = x + bp^k$. Tämä todistaa väitteen.

Korollaari

Olkoon $x$ sellainen, jolla $P(x) \equiv 0 \pmod{p}$. Oletetaan, että $P’(x) \not\equiv 0 \pmod{p}$. Kaikilla $k$ on olemassa sellainen $x_k$, jolla $P(x_k) \equiv 0 \pmod{p^k}$.

Todistus

Henselin lemman nojalla voidaan rekursiivisesti muodostaa lukujono $x_k$, jolla on haluttu ominaisuus. Yksityiskohdat jätetään lukijalle.

Henselin lemmalla on useita sovelluksia:

Sovellus 1

Olkoon $P$ polynomi, joka ei jakaudu rationaaliluvuissa tekijöihin. Jos yhtälöllä $P(x) \equiv 0 \pmod{p}$ on ratkaisu, kaikilla paitsi äärellisen monella $p$ yhtälöllä $P(x) \equiv 0 \pmod{p^k}$ on ratkaisu kaikilla $k$.

Todistus

Koska $\deg(P’) < \deg(P)$, ja $P$ ei jakaudu rationaaliluvuissa, on polynomien $P$ ja $P’$ suurin yhteinen tekijä 1. Bezout’n lemman nojalla on olemassa sellaiset kokonaislukukertoimiset polynomit $X, Y$, joilla $PX + P’Y = N$ jollain $N \in \mathbb{Z}$, $N \neq 0$.

Oletetaan, että yhtälöllä $P(x) \equiv 0 \pmod{p}$ on ratkaisu $x = a$. Jos $P’(a) \equiv 0 \pmod{p}$, pätee $N \equiv P(a)X(a) + P’(a)Y’(a) \equiv 0 \pmod{p}$. Tämä tapahtuu vain äärellisen monella $p$. Täten kaikilla paitsi äärellisen monella $p$ yhtälöllä $P(x) \equiv 0 \pmod{p^k}$ on ratkaisu kaikilla $k$ Henselin lemman korollaarin nojalla.

Sovellus 2

Schurin lausetta voidaan yleistää seuraavasti:

Olkoon $P \in \mathbb{Z}[x]$ ei-vakio. On olemassa äärettömän monta $p$, joilla yhtälöllä $P(x) \equiv 0 \pmod{p^k}$ on ratkaisu kaikilla $k$.

Todistus

Jos $P$ on jakautumaton, väite pätee Schurin lauseen ja sovelluksen 1 nojalla. Jos $P$ jakautuu, valitaan jokin $P$:n jakautumaton tekijä $D$. Käyttäen sovellusta 1 polynomille $D$ ja Schurin lausetta saadaan sovelluksen 2 väite pätemään $D$:lle ja näin myös $P$:lle.

Harjoitustehtäviä

Iberoamerican, 1990, T3

Olkoot $b$ ja $c$ kokonaislukuja, ja määritellään $f(x) = (x+b)^2 - c$.

i) Jos $p$ on sellainen, jolla $c \equiv 0 \pmod{p}$, mutta $p^2$ ei jaa $c$:tä, osoita, että $f(n)$ ei ole jaollinen luvulla $p^2$ millään kokonaisluvulla $n$.

ii) (Korjattu versio) Olkoon $q \neq 2$ sellainen alkuluku, joka ei jaa $c$:tä. Jos $q$ jakaa luvun $f(n)$ jollain kokonaisluvulla $n$, osoita, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $r$ on olemassa kokonaisluku $n’$, jolla $q^r$ jakaa luvun $f(n’)$.

Sovelluksen 1 yleistys

Olkoon $P \in \mathbb{Z}[x]$. Oletetaan, että yhtälöllä $P(x) \equiv 0 \pmod{p}$ on ratkaisu. Osoita, että kaikilla paitsi äärellisen monella $p$ yhtälöllä $P(x) \equiv 0 \pmod{p^k}$ on ratkaisu kaikilla $k \in \mathbb{Z_+}$.

Kiinatehtävän yleistys

Olkoon $P \in \mathbb{Z}[x]$ toisen asteen polynomi. Olkoon $S$ niiden alkulukujen $p$ joukko, joilla $P(n) \equiv 0 \pmod{p^2}$ kaikilla $n \in \mathbb{Z}$. Osoita, että on olemassa äärettömän monta $n$, joilla $P(n)$ ei ole jaollinen minkään alkuluvun $p$ neliöllä, missä $p \not\in S$.