Neliönjäännökset

Tässä postauksessa käsitellään neliönjäännöksiä. Tarkemmin sanoen käsitellään, milloin luku on neliönjäännös äärettömän monella alkuluvulla, sekä muita samanhenkisiä kysymyksiä.

Jaollisuus rationaaliluvuissa

Tässä postauksessa esitetään luonnollinen yleistys jaollisuudelle rationaaliluvuissa.

Moniulotteisia ongelmia

Tässä postauksessa käydään läpi kaksi kisatehtävää, joita voi tulkita moniulotteisesti.

Henselin lemma

Tässä postauksessa käsitellään Henselin lemmaa: jos polynomilla $P \in \mathbb{Z}[x]$ on juuri modulo $p$, monessa tapauksessa sillä on juuri modulo $p^k$ kaikilla $k$.

Algebrallisista luvuista ja vektoriavaruuksista

Tässä postauksessa esitetään yksi todistus sille, miksi kahden algebrallisen luvun summa/tulo on myös algebrallinen. Tämän todistamiseksi määritellään vektoriavaruus ja kanta.

Numeroiden summa

Tässä postauksessa käsitellään numeroiden summan ominaisuuksia.

IMO-matkakertomus

Tästä pääsee Selim Virtasen blogiin, jossa hän kertoo vuoden 2018 IMO-matkasta.

P-adic valuation ja Lifting The Exponent lemma

Tässä postauksessa käsitellään $v_p$-notaatiota (tunnetaan englanniksi nimellä $p$-adic valuation) ja sen hyötyjä. Lisäksi esitetään Lifting The Exponent lemma (LTE) sekä sen todistus.

Fibonaccin luvut ja binomikertoimet

Postauksen tarkoitus
Tässä postauksessa käsitellään mielenkiintoista yhteyttä Fibonaccin lukujen ja binomikertoimien välillä. Saman tuloksen saamiseen on monta eri keinoa, mutta käymme tässä läpi mukavan kombinatorisen todistuksen ja hieman motiiveja välivaiheiden takana.

Catalanin lukujen yleistys

Tässä postauksessa käydään läpi eräs Suomen loppukilpailutehtävä, joka osoittautuu Catalanin lukujen yleistykseksi.

MAOL:n loppukilpailu 2014, Tehtävä 3

Pisteet $P = (a, b)$ ja $Q = (c, d)$ ovat $xy$-tason ensimmäisessä neljänneksessä, ja $a, b, c$ sekä $d$ ovat kokonaislukuja, joille $a<b, a<c, b<d$ ja $c<d$. Reitti pisteestä $P$ pisteeseen $Q$ on positiivisten koordinaattiakselien suuntaisista, yksikön pituisista askelista muodostuva murtoviiva, ja sallittu reitti on reitti, joka ei leikkaa eikä kosketa suoraa $x = y$. Montako sallittua reittiä on?

KöMaL ja ositusongelma

KöMaL on unkarilainen “matematiikkalehti”. KöMaLin sivuilta löytyy lisäksi paljon kilpailumatematiikan tehtäviä, vaihdellen helpohkoista hyvin haastaviin. Tässä postauksessa käydään läpi yksi näistä tehtävistä:

Tehtävä (KöMaL, A647)

Olkoon $k$ epänegatiivinen kokonaisluku. Osoita, että vain äärellisen monella positiivisella kokonaisluvulla $n$ on olemassa joukot $A$ ja $B$, joilla $A \cup B = \lbrace 1, 2, \ldots , n \rbrace $, $A \cap B = \emptyset$ ja

Sinilausebash

Tässä postauksessa johdatellaan sinilausebashaukseen, eli miten sinilauseella voidaan laskennallisesti ratkaista geometrian tehtäviä.

Schurin lause

Tässä postauksessa käsitellään Schurin lausetta: jokaisella kokonaislukukertoimisella ei-vakiolla polynomilla on äärettömän monta alkutekijää.

Juuren ottaminen moduloissa

Tässä postauksessa käsitellään miten muotoa $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ olevasta yhtälöstä voi ottaa juuren tietyin ehdoin.

Kobayashin lause

Tässä postauksessa käsitellään Kobayashin lausetta.

Kiinatehtävä, osa 3

Tässä postauksessa käsitellään seuraavan tehtävän ratkaisu:

Kiinan IMO-joukkueen valintakoe 2, 2015, tehtävä 6

Osoita, että on olemassa äärettömän monta $n \in \mathbb{Z_+}$ joilla $n^2 + 1$ ei ole jaollinen millään alkuluvun neliöllä (engl. squarefree)

Lukujonon neliöominaisuus kolmella tavalla

Tässä postauksessa käydään kolme hyvin erilaista ja varsin mielenkiintoista ratkaisua seuraavalle tehtävälle:

Valmennustehtävät, 2018 tammikuu, tehtävä 21

Määritellään $a_0 = a_1 = 3$ ja $a_{n+1} = 7a_n - a_{n-1}$ jokaisella $n \in \mathbb{Z_+}$. Osoita, että $a_n - 2$ on neliöluku jokaisella $n \in \mathbb{Z_+}$.

Tekijöihinjakoa

Tässä postauksessa käydään läpi muutama asia liittyen tekijöihinjakoon.

Kiinatehtävä, osa 2

Tässä postauksessa käsitellään seuraavan tehtävän ratkaisu:

Kiinan IMO-joukkueen valintakoe 5, 2010, tehtävä 3

Olkoon $k$ positiivinen kokonaisluku. Osoita, että on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku $N$, niin että kaikilla $n \ge N$ luvulla ${n \choose k}$ on vähintään $k$ erisuurta alkutekijää.

Cyclotomisten polynomien soveltaminen valmennustehtävään

Tehtävä tammikuun valmennustehtävät, tehtävä 14