Tästä pääsee Selim Virtasen blogiin, jossa hän kertoo vuoden 2018 IMO-matkasta.

Tässä postauksessa käsitellään $v_p$-notaatiota (tunnetaan englanniksi nimellä $p$-adic valuation) ja sen hyötyjä. Lisäksi esitetään Lifting The Exponent lemma (LTE) sekä sen todistus.

Postauksen tarkoitus
Tässä postauksessa käsitellään mielenkiintoista yhteyttä Fibonaccin lukujen ja binomikertoimien välillä. Saman tuloksen saamiseen on monta eri keinoa, mutta käymme tässä läpi mukavan kombinatorisen todistuksen ja hieman motiiveja välivaiheiden takana.

Tässä postauksessa käydään läpi eräs Suomen loppukilpailutehtävä, joka osoittautuu Catalanin lukujen yleistykseksi.

MAOL:n loppukilpailu 2014, Tehtävä 3

Pisteet $P = (a, b)$ ja $Q = (c, d)$ ovat $xy$-tason ensimmäisessä neljänneksessä, ja $a, b, c$ sekä $d$ ovat kokonaislukuja, joille $a<b, a<c, b<d$ ja $c<d$. Reitti pisteestä $P$ pisteeseen $Q$ on positiivisten koordinaattiakselien suuntaisista, yksikön pituisista askelista muodostuva murtoviiva, ja sallittu reitti on reitti, joka ei leikkaa eikä kosketa suoraa $x = y$. Montako sallittua reittiä on?

KöMaL on unkarilainen “matematiikkalehti”. KöMaLin sivuilta löytyy lisäksi paljon kilpailumatematiikan tehtäviä, vaihdellen helpohkoista hyvin haastaviin. Tässä postauksessa käydään läpi yksi näistä tehtävistä:

Tehtävä (KöMaL, A647)

Olkoon $k$ epänegatiivinen kokonaisluku. Osoita, että vain äärellisen monella positiivisella kokonaisluvulla $n$ on olemassa joukot $A$ ja $B$, joilla $A \cup B = \lbrace 1, 2, \ldots , n \rbrace $, $A \cap B = \emptyset$ ja

Tässä postauksessa johdatellaan sinilausebashaukseen, eli miten sinilauseella voidaan laskennallisesti ratkaista geometrian tehtäviä.

Tässä postauksessa käsitellään Schurin lausetta: jokaisella kokonaislukukertoimisella ei-vakiolla polynomilla on äärettömän monta alkutekijää.

Tässä postauksessa käsitellään miten muotoa $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ olevasta yhtälöstä voi ottaa juuren tietyin ehdoin.

Tässä postauksessa käsitellään Kobayashin lausetta.

Tässä postauksessa käsitellään seuraavan tehtävän ratkaisu:

Kiinan IMO-joukkueen valintakoe 2, 2015, tehtävä 6

Osoita, että on olemassa äärettömän monta $n \in \mathbb{Z_+}$ joilla $n^2 + 1$ ei ole jaollinen millään alkuluvun neliöllä (engl. squarefree)

Tässä postauksessa käydään kolme hyvin erilaista ja varsin mielenkiintoista ratkaisua seuraavalle tehtävälle:

Valmennustehtävät, 2018 tammikuu, tehtävä 21

Määritellään $a_0 = a_1 = 3$ ja $a_{n+1} = 7a_n - a_{n-1}$ jokaisella $n \in \mathbb{Z_+}$. Osoita, että $a_n - 2$ on neliöluku jokaisella $n \in \mathbb{Z_+}$.

Tässä postauksessa käydään läpi muutama asia liittyen tekijöihinjakoon.

Tässä postauksessa käsitellään seuraavan tehtävän ratkaisu:

Kiinan IMO-joukkueen valintakoe 5, 2010, tehtävä 3

Olkoon $k$ positiivinen kokonaisluku. Osoita, että on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku $N$, niin että kaikilla $n \ge N$ luvulla ${n \choose k}$ on vähintään $k$ erisuurta alkutekijää.

Tehtävä tammikuun valmennustehtävät, tehtävä 14

Tässä postauksessa käsitellään seuraavan tehtävän ratkaisu:

Kiinan IMO-joukkueen valintakoe 4, 2010, tehtävä 3 Olkoon $f(n)$ luvun $n$ itseään pienempien tekijöiden summa, esimerkiksi $f(10) = 1 + 2 + 5$. Määritellään $f^1(n) = f(n)$, ja $f^i(n) = f^{i-1}(f(n))$ kaikilla $i > 1$.

Olkoon annettu $k \in \mathbb{N}$. Osoita, että on olemassa $n \in \mathbb{N}$, jolla

Tämän postauksen tavoite on selittää alkeet Catalanin luvuista.